Question

19．已知向量$\vec a=（sinx，cosx），\vec b=（cosx，cosx）$，函数$f（x）=\vec a•（\vec a+\vec b）-\frac{3}{2}$
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值．
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件写出函数f（x）的解析式，结合解析式求得函数f（x）的最小正周期和最大值．
（2）根据正弦函数图象来求函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+cos²x+sinxcosx+cos²x-$\frac{3}{2}$=1+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（cos2x+1）-$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
所以f（x）的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小正周期是π．
（2）由（1）知，函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
所以，该函数的单调递增区间为：-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ⇒-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，
所以函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]（k∈Z）．

点评 本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性、和差公式、倍角公式、三角次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．