Question

2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$，（ φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l₁的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线l₂的极坐标方程为θ=$\frac{π}{2}$，l₁与l₂的交点为M．
（I）判断点M与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）点P为曲线C上的任意一点，求|PM|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别根据极坐标和直角坐标构造方程组解得即可，
（Ⅱ）设与点P的坐标，根据二次函数的性质即可求出最值．

解答 解：（Ⅰ）方法一：由$\left\{\begin{array}{l}{ρsin（θ-\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{θ=\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，得ρ=1，
所以l₁与l₂的交点M的极坐标为（1，$\frac{π}{2}$）．即点M的直角坐标为（0，1），
又曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
且$\frac{{0}^{2}}{4}$+1²=1，
所以点M在曲线C上，
方法二：直线l₁的直线方程为x-y+1=0，
直线l₁的直线方程为x=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{x=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以所以l₁与l₂的交点M的直角坐标为（0，1），
又曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
且$\frac{{0}^{2}}{4}$+1²=1，
所以点M在曲线C上，
（Ⅱ）方法一：设点P的直角坐标为（2cosφ，sinφ），
所以|PM|²=4cos²φ+（sinφ-1）²=-3sin2φ-2sinφ+5=-3（sinφ+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，
当sinφ=-$\frac{1}{3}$时，|PM|²_max=$\frac{16}{3}$，
所以|PM|的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
方法二：设点P（x₀，y₀），其中x₀²+4y₀²=4．
则|PM|²=x₀²+（y₀-1）²=-3y₀²-2y₀+5=-3（y₀+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，
当y₀=-$\frac{1}{3}$时，|PM|²_max=$\frac{16}{3}$，
所以|PM|的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标等基本知识，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、数形结合思想，属于中档题．