Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，x≤0}\\{f（x-1），x＞0}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-x-a只有一个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 g（x）=f（x）-x-a只有一个零点可化为函数f（x）与函数y=x+a有一个交点，作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，x≤0}\\{f（x-1），x＞0}\end{array}\right.$与函数y=x+a的图象，结合图象可直接得到答案．

解答 解：∵g（x）=f（x）-x-a只有一个零点，
∴函数y=f（x）与函数y=x+a有一个交点，
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，x≤0}\\{f（x-1），x＞0}\end{array}\right.$与函数y=x+a的图象如下，

结合图象可知，
a≥1；
故选：B．

点评 本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．