题目内容
已知x=
是函数f（x）=
的极值点．
（1）当b≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当b∈R时，函数y=f（x）﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．
是函数f（x）=的极值点．（1）当b≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当b∈R时，函数y=f（x）﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．
解：（1）当x＞0时，f（x）=（x2﹣2ax）ex，
∴f '（x）=（2x﹣2a）ex+（x2﹣2ax）ex=[x2+2（1﹣a）x﹣2a]ex．
由已知得，
，
∴2+2
﹣2a﹣2
=0，
解得a=1．
∴f（x）=（x2﹣2x）ex，
∴f '（x）=（x2﹣2）ex．
当x∈（0，
）时，f '（x）＜0，
当x∈（
）时，f '（x）＞0．
又f（0）=0，所以当b＜0时，f（x）在（﹣
）上单调递减，（
）单调递增；
当b＞0时，f（x）在（﹣∞，0），（
）上单调递增，在（0，
）上单调递减．
（2）由（1）知，当x∈（0，
）时，f（x）单调递减，f（x）∈（
），
当x
时，f（x）单调递增，f（x）∈（（2﹣2
）
，+∞）．
要使函数y=f（x）﹣m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b＞0时，m=0或m=（2﹣
）
；
②当b=0时，m∈（（2﹣2
）
，0）；
③当b＜0时，m∈（（2﹣2
）
，+∞）．
∴f '（x）=（2x﹣2a）ex+（x2﹣2ax）ex=[x2+2（1﹣a）x﹣2a]ex．
由已知得，
，∴2+2
﹣2a﹣2=0，解得a=1．
∴f（x）=（x2﹣2x）ex，
∴f '（x）=（x2﹣2）ex．
当x∈（0，
）时，f '（x）＜0，当x∈（
）时，f '（x）＞0．又f（0）=0，所以当b＜0时，f（x）在（﹣
）上单调递减，（）单调递增；当b＞0时，f（x）在（﹣∞，0），（
）上单调递增，在（0，）上单调递减． （2）由（1）知，当x∈（0，
）时，f（x）单调递减，f（x）∈（），当x
时，f（x）单调递增，f（x）∈（（2﹣2），+∞）．要使函数y=f（x）﹣m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b＞0时，m=0或m=（2﹣
）；②当b=0时，m∈（（2﹣2
），0）； ③当b＜0时，m∈（（2﹣2
），+∞）．
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是函数f（x）=
的极值点．
是函数f（x）=
的极值点．