Question

已知函数f(x)＝ax＋ (a>1)．

(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；

(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）见解析

【解析】证明：(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，

由于a>1，ax1<ax2，∴ax2－ax1>0.

又∵x1＋1>0，x2＋1>0，

∴－

＝

＝>0，

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，

即f(x2)>f(x1)，

故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

(2)证法一：假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，

则ax0＝－.

∵a>1，

∴0<ax0<1.

∴0<－<1，即<x0<2，与假设x0<0相矛盾，

故方程f(x)＝0没有负数根．

证法二：假设存在 x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，

①若－1<x0<0，

则<－2,0<ax0<1，

∴f(x0)<－1，与f(x0)＝0矛盾．

②若x0<－1，则>0,1>ax0>0，

∴f(x0)>0，与f(x0)＝0矛盾，

故方程f(x)＝0没有负数根．