Question

设数列设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-2S_n-a_ns_n+1=0，n=1，2，3…
（1）求a₁，a₂；
（2）求证：数列{}是等差数列，并求S_n的表达式．

Answer 1

解：（1）当n=1时，由已知得a₁²-2a₁-a₁²+1=0，
解得．
同理，可解得．（4分）
（2）证明：由题设S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．当n≥2，n∈N^*时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式，得S_n-1S_n-2S_n+1=0．
∴，，
∴，
∴是首项为，公差为-1的等差数列（10分），
∴，
∴（12分）
分析：（1）当n=1时，由已知得a₁²-2a₁-a₁²+1=0，解得．同理，可解得．
（2）由题设S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．a_n=S_n-S_n-1，所以S_n-1S_n-2S_n+1=0.，
，由此能够证明数列{}是等差数列，并能求出S_n的表达式．
点评：第（1）题考查数列中第1项和第2项的求法，解题时要注意函2数题考查等差数列的证明和数列前n项和的求法，解题时要注意合理地进行等价转化．