Question

5．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）焦点坐标为（$\sqrt{2}$，0），准线方程为x=$±2\sqrt{2}$的椭圆；
（2）过点（$\sqrt{2}$，2），渐近线方程为y=±2x的双曲线．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由c=$\sqrt{2}$，x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$=$±2\sqrt{2}$，求得a²=4，b²=a²-c²=2，即可求得椭圆的标准方程；
（2）由双曲线渐近线方程为y=±2x，设双曲线的方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=λ$（λ≠0），将点（$\sqrt{2}$，2）代入双曲线方程，即可求得λ的值，即可求得双曲线方程．

解答 解：（1）由焦点坐标为（$\sqrt{2}$，0），可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则c=$\sqrt{2}$，由椭圆的准线方程为：x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$=$±2\sqrt{2}$，即a²=4，
由b²=a²-c²=4-2=2，
故椭圆的标准的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由双曲线渐近线方程为y=±2x，则设双曲线的方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=λ$（λ≠0），
由双曲线经过点（$\sqrt{2}$，2），代入可得：2-$\frac{{2}^{2}}{4}$=λ，解得：λ=1，
双曲线的方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴双曲线的标准方程方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆及双曲线的标准方程及简单几何性质，考查曲线方程的求法，考查待定系数法的应用，属于基础题．