Question

已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=3相交于A、B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,O是坐标原点,OC的斜率为2,求椭圆的方程.

Answer 1

思路分析一:本题涉及弦长、弦的中点,可以将弦长公式与点差法综合运用解决问题.

解法一:设椭圆方程为mx²+ny²=1(m＞0,n＞0),A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₀,y₀),

则mx₁²+ny₁²=1,mx₂²+ny₂²=1.

两式相减得m(x₁+x₂)(x₁-x₂)+n(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0.

∴k_AB=.

又∵k_OC==2,∴=2,即m=2n.

将y=3-x代入椭圆方程mx²+ny²=1,得(m+n)x²-6nx+9n-1=0.

由弦长公式得|AB|=

=.

将m=2n代入得n=,m=.

故所求椭圆方程为2x²+y²=9.

思路分析二:由直线OC与直线AB相交于C,求出点C的坐标,再以点C是AB的中点为突破口,求出A、B的坐标,从而求出椭圆方程.

解法二:设椭圆方程为mx²+ny²=1(m＞0,n＞0),A(x₁,3-x₁),B(x₂,3-x₂).

∵OC的斜率为2,

∴直线OC的方程为y=2x.

由得C(1,2).

∵C是AB的中点,

∴x₁+x₂=2.

∵|AB|=2,由弦长公式得|AB|=|x₁-x₂|=|x₁-x₂|=2,即|x₁-x₂|=2.

不妨设x₁＞x₂,则x₁-x₂=2,

由

即A(2,1),B(0,3).

∵A、B在椭圆上,

∴

故所求椭圆方程为2x²+y²=9.