Question

已知P为圆A：（x+1）²+y²=12 上的动点，点B（l，0）．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点T，记点TF轨迹为Γ．
（I）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设M，N是Γ上的两个动点，MN的中点H在圆x²+y²=1上，求原点到MN距离的最小值．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆与圆的位置关系及其判定

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由已知|TB|=|TP|，于是|TA|+|TB|=|TA|+|TP|=2

3

，故曲线Γ是以A，B为焦点，以2

3

为长轴长的椭圆，从而可求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设点作差，求出MN的方程，可得原点O到直线MN距离，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）圆A的圆心为A（-1，0），半径等于2

3

．
由已知|TB|=|TP|，于是|TA|+|TB|=|TA|+|TP|=2

3

，
故曲线Γ是以A，B为焦点，以2

3

为长轴长的椭圆，a=

3

，c=1，b=

2

，
曲线Γ的方程为

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），
将M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入作差得

(x1+x2)(x1-x2)

3

+

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0
①x₁=x₂时，y₁+y₂=0，∴H（x₀，0），
∵H在圆x²+y²=1上，
∴x₀=±1，则原点O到直线MN距离为1；
②x₁≠x₂时，设直线MN的斜率为k，则2x₀+3ky₀=0，且x₀²+y₀²=1，
∴x₀²=

9k2

9k2+4

，y₀²=

4

9k2+4

，
∴x₀y₀=-

3

2

ky₀²=

-6k

9k2+4

设原点O到直线MN距离为d，则
∵MN的方程为y-y₀=k（x-x₀），即kx-y-kx₀+y₀=0，
∴d²=1-

k2

9k4+13k2+4

，
k=0时，d²=1；
k≠0时，d²=1-

1

9k2+ 4 k2 +13

≥1-

1

25

=

24

25

∵

24

25

＜1，
∴d²的最小值为

24

25

，即d的最小值为

2 6

5

，此时k=±

6

3

，
由①②可知，原点O到直线MN距离的最小值

2 6

5

．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．