Question

8．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且bsin2C=csinB．
（1）求角C；
（2）若△ABC为锐角三角形，求$\sqrt{3}$sinBcosB+cos²B的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知，利用正弦定理化简可得cosC=$\frac{1}{2}$，根据特殊角的三角函数值即可求C的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简所求为$sin（2B+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，结合范围B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），利用正弦函数的图象和性质即可求解范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵由已知，2sinBsinCcosC=sinCsinB，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴可得：C=$\frac{π}{3}$，
（2）∵$\sqrt{3}sinBcosB+{cos^2}B$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2B+\frac{1+cos2B}{2}$=$sin（2B+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
又∵△ABC为锐角三角形，且$C=\frac{π}{3}$，
∴B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），可得：2B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．