Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD，E为侧棱PD的中点，F为AB的中点，PA=AB=2．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD体积；
（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；
（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （I）V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•PA$
（II）取PC的中点M，连结ME，MF，则可证四边形AFME是平行四边形，得出AE∥FM，故AE∥平面PFC；
（III）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥AB，又AD⊥AB推出AB⊥平面PAD，故AB⊥AE，于是四边形AFME是矩形，得出FM⊥ME，由Rt△PAF≌Rt△CBF得PF=CF，故而FM⊥PC，于是FM⊥平面PCD，从而得出平面PFC⊥平面PCD．

解答 解：（I）V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×2$=$\frac{8}{3}$．
证明：（II）取PC的中点M，连结ME，MF，
∵E，M是PD，PC的中点，
∴ME∥CD，ME=$\frac{1}{2}CD$．
∵四边形ABCD是正方形，F是AB的中点，
∴AF∥CD，AF=$\frac{1}{2}CD$，
∴AF∥ME，AF=ME，
∴四边形AFME是平行四边形，
∴AE∥MF，又AF?平面PFC，FM?平面PFC，
∴AE∥平面PFC．
（III）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA?PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∵AE?平面PAD，
∴AB⊥AE，又四边形AFME是平行四边形，
∴四边形AFME是矩形，
∴FM⊥ME，
∵PA=AB=BC，AF=BF，∠PAB=∠CBF=90°，
∴Rt△PAF≌Rt△CBF，
∴PF=CF，∵M是PC中点，
∴FM⊥PC．
又FM⊥PC，PC?平面PCD，ME?平面PCD，PC∩ME=M，
∴FM⊥平面PCD，∵FM?平面PFC，
∴平面PFC⊥平面PCD．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．