Question

5．已知数列{a_n}前n项和满足S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$  （n≥2），a₁=1，则a_n=（　　）

• A． n
• B． 2n-1
• C． n²
• D． 2n²-1

Answer 1

分析 利用平方差公式对已知数列递推式化简整理，求得$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，根据等差数列的定义判断出数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是一个首项为1公差为1的等差数列．求得数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的通项公式，再由a_n=S_n-S_n-1求得a_n ．

解答 解：由S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，得$（\sqrt{{S}_{n}}+\sqrt{{S}_{n-1}}）（\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}）$=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，
∴$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}=1$，
∴数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是一个首项为1公差为1的等差数列．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）×1=n，
∴S_n=n²．
当n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
a₁=1适合上式，
∴a_n=2n-1，
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了由数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．