Question

11．已知f（x）=$2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-1$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=2，a=$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{4}$，求b的值．

Answer 1

分析 本题属于三角函数常规题型．（1）利用三角函数公式对f（x）进行化简成f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），根据最小正周期公式T=$\frac{2π}{|w|}$=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）根据f（A）=2，求出A=$\frac{π}{6}$，根据正弦定理即可求出b；

解答 解：（1）由已知化简函数解析式：
 f（x）=$2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-1$
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
所以，最小正周期T=$\frac{2π}{|w|}$=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）在△ABC中，由f（A）=2知：
2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=2⇒A=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z
因为A是三角形内角，所以A=$\frac{π}{6}$；
又∵B=$\frac{π}{4}$，a=$\sqrt{3}$
由正弦定理知：$\frac{sin30°}{\sqrt{3}}=\frac{sin45°}{b}$
∴b=$\sqrt{6}$

点评 本题属于三角函数常规题型．考生需熟练掌握三角函数的化简，掌握最小正周期公式以及正弦定理；此类题型也属高考常考题型．