Question

（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知侧面， BC=1，AB=BB1=2，∠BCC1=.

（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）P是线段上的动点，当平面平面时，求线段的长；

（Ⅲ）若E为的中点，求二面角平面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）；

【解析】

试题分析：（1）根据线面垂直的判定定理知，一条直线垂直于两条相交直线，则这条直线与这两条直线所形成的平面垂直，本题中， ，，所以得到C1B⊥平面ABC；（2）由线面垂直可知，经过这条直线的所有平面都与这个平面垂直，故有，因此过C1作交线的垂线，可得到平面，即可求得=；（3）由上一问知，，故过P作交AE所在直线为点H，则为所求平面的二面角，利用三角函数即可求值。

试题解析：（Ⅰ）证明：侧面得

由BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=知C1CB=90°即，

又交于点A，故C1B⊥平面ABC 4分

（Ⅱ）由已知侧面知面，过C1作,则，因

故平面平面，求得= 8分[

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

过P作，

由三角形相似求得：，又 ，

∴，故： 13分

考点：?线面垂直的性质与判定?二面角的余弦值