Question

已知M为圆C：x²+y²-4x-14y+45=0上任一点，且点Q（-2，3）．
（Ⅰ）若P（a，a+1）在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
（Ⅱ）求|MQ|的最大值和最小值；
（Ⅲ）若M（m，n），求

n-3

m+2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由点P（a，a+1）在圆C上，可得a=4，即得到P（4，5）．，进而求出所以线段PQ的长及直线PQ的斜率．
（Ⅱ）由题意可得圆的圆心C坐标为（2，7），半径r=2

2

．可得|QC|=

(2+2)2+(7-3)2

=4

2

，根据圆的性质可得答案．
（Ⅲ）可知

n-3

m+2

表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为：y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，根据直线与圆的位置关系可得2-

3

≤k≤2+

3

，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由点P（a，a+1）在圆C上，
可得a²+（a+1）²-4a-14（a+1）+45=0，所以a=4，P（4，5）．
所以|PQ|=

(4+2)2+(5-3)2

=2

10

，KPQ=

3-5

-2-4

=

1

3

．
（Ⅱ）由C：x²+y²-4x-14y+45=0可得（x-2）²+（y-7）²=8．
所以圆心C坐标为（2，7），半径r=2

2

．
可得|QC|=

(2+2)2+(7-3)2

=4

2

，
因此 |MQ|max=4

2

+2

2

=6

2

，|MQ|min=4

2

-2

2

=2

2

．
（Ⅲ）可知

n-3

m+2

表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为：y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
则

n-3

m+2

=k．
由直线MQ与圆C有交点，所以 

|2k-7+2k+3|

1+k2

≤2

2

．
可得2-

3

≤k≤2+

3

，
所以

n-3

m+2

的最大值为2+

3

，最小值为2-

3

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握圆的坐标方程及其一个的性质，并且熟练掌握直线与圆的位置关系的判定．