Question

10．已知定义在R上的函数f（x）满足：
①f（1）=2； ②当x＞0时，f（x）＞1； ③对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）求证：f（0）=1，且对任意x＜0时，0＜f（x）＜1；
（2）求证：f（x）在R上是单调递增函数；
（3）求满足f（3x-x²）＞4的所有x的值．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）=1，及f（x）•f（-x）=f（x+（-x））=f（0）=1，可得对任意x＜0时，0＜f（x）＜1；
（2）由（1）得f（x）＞0，令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞1，f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）=[f（x₂-x₁）-1]•f（x₁）＞0．，可得单调性；
（3）运用函数的单调性和f（2）=4，f（3x-x²）＞4=f（2）．3x-x²＞2，解得x的范围．

解答 解：（1）证明：∵f（1）=2，且对任意的x、y∈R，都有
∴f（1+0）=f（1）•f（0），即2f（0）=2，∴f（0）=1
又当x＜0时，有-x＞0，且x+（-x）=0，f（-x）＞1
∴f（x）•f（-x）=f（x+（-x））=f（0）=1，即$f（x）=\frac{1}{f（-x）}$
∴0＜f（x）＜1；
（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）
=[f（x₂-x₁）-1]•f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
所以，f（x）在R上是单调递增函数．
（3）∵f（1）=2，∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=4
∴f（3x-x²）＞4=f（2）
由（2）知，f（x）在R上是单调递增函数
∴3x-x²＞2，解得，1＜x＜2
∴满足f（3x-x²）＞4的所有x的取值为（1，2）．

点评 本题考查抽象函数的运用，考查赋值法的运用和函数的单调性的判断和运用，以及恒成立问题的解法，属于中档题．