Question

求证：对于大于1的任意自然数n，都有1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

＞

n

．

Answer 1

证明：（1）当n=2时，左边=1+

1

2

=1+

2

2

＞

2

显然成立．（2分）
（2）假设n=k（k≥2且K∈N时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞

k

成立 （4分）
则当n=k+1时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞

k

+

1

k+1

． （5分）
又因为

k

+

1

k+1

-

k+1

=

k

+

1-(k+1)

k+1

=

k(k+1) -k

k+1

=

k2+k - k2

k+1

＞0，
所以

k

+

1

k+1

＞

k+1

，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞

k+1

，
当n=k+1时，不等式也成立．（11分）
由（1）（2）可知对于大于1的任意自然数n，都有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n

．     （12分）