题目内容

3．已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题：
x-1045
f（x）1221
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．其中真命题的个数是（　　）
A．4个B．3个C．2个D．1个

分析 先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．

解答 解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：

由图得：①为假命题；
②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；
由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，
若x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误
∵函数f（x）在定义域为[-1，5]共有两个单调增区间，两个单调减区间，
故函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个，即④错误，
故选：D．

点评 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．

练习册系列答案
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