题目内容

已知f（xⁿ）=lnx，则f（2）的值为

A.
ln2
B.
$数学公式$ ln2
C.
$数学公式$ ln2
D.
2ln2

B
分析：令t=xⁿ，可得x= $\text{[math]}$ ，可得 f（t）=ln $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ lnt，由此求得f（2）的值．
解答：令t=xⁿ，则 x= $\text{[math]}$ ，∴f（t）=ln $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ lnt，则f（2）= $\text{[math]}$ ln2，
故选B．
点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．

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已知函数f（x）=

x²+ln x-1．
（1）求函数f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底）上的最大值和最小值；
（2）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=

x³的图象的下方；
（3）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2 （n∈N^*）．

已知函数f（x）=e^x•（cosx+sinx），将满足f'（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{x_n}，记a_n=f（x_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）设c_n=ln|a_n|，求c₁+c₂+c₃+…+c_n；
（Ⅲ）若b_n=

，试比较b_n+1与b_n的大小．

（2012•江西模拟）已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
（1）求实数m的值；
（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x₀∈（a，b），使得f′(x0)=

．试用这个结论证明：若-1＜x₁＜x₂，函数g(x)=

(x-x1)+f(x1)，则对任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）；
（3）已知正数λ₁，λ₂，…，λ_n，满足λ₁+λ₂+…+λ_n=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x₁，x₂，…，x_n，都有f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_nx_n）＞λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_nf（x_n）．

已知函数f_n（x）=1+x+x²+…+xⁿ（n∈N^*）．
（1）当n=1，2，3时，分别求函数f_n（x）的单调区间；
（2）当n=2时，关于x的方程ln(x+1)=-

x+m+f(x)-1在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3）求证：对任意的正整数n，不等式ln

已知函数f（x）=x³（x＞0），点A_n（n，y_n），A_n+1（n+1，y_n+1）在函数f（x）的图象上（n∈N^*）过点A_n，A_n+1的切线分别为L_n，L_n+1，L_n与L_n+1的交点的横坐标为x_n．设an=