Question

5．已知抛物线C：x²=2py的焦点F到准线l的距离为2，点P、Q都是抛物线上的点，且点Q与点P关于y轴对称．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程和焦点坐标；
（Ⅱ）圆E：x²+（y-4）²=1，过点P作圆C的两条切线，分别与抛物线交于M，N两点（M、N不与点P重合），若直线MN与抛物线在点Q处的切线平行，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得p=2，进而得到抛物线的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设$P（{{x_0}，\frac{x_0^2}{4}}）$，设过点P的圆E的切线：$y-\frac{x_0^2}{4}=k（{x-{x_0}}）$，由直线和圆相切的条件：d=r，可设直线PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求点的坐标．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线C：x²=2py的焦点F到准线l的距离为2，可得p=2，
则抛物线的标准方程为x²=4y，焦点F（0，1）；
（Ⅱ）设$P（{{x_0}，\frac{x_0^2}{4}}）$，设过点P的圆E的切线：$y-\frac{x_0^2}{4}=k（{x-{x_0}}）$，
由圆心E（0，4）到切线距离为1，得$\frac{{|{-4+\frac{x_0^2}{4}-k{x_0}}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$．
即$（{x_0^2-1}）{k^2}-2{x_0}（{\frac{x_0^2}{4}-4}）k+{（{\frac{x_0^2}{4}-4}）^2}-1=0$．
由题可知：直线PM，PN均与x轴不垂直，
故可设直线PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁+k₂=$\frac{{2{x_0}（{\frac{x_0^2}{4}-4}）}}{{（{x_0^2-1}）}}$．（*）
由$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{x_0^2}{4}=k（{x-{x_0}}）\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，解得点M的横坐标x₁=4k₁-x₀，
同理，点N的横坐标x₂=4k₂-x₀．
于是，直线MN的斜率${k_{MN}}=\frac{{{y_M}-{y_N}}}{{{x_M}-{x_N}}}=\frac{{\frac{x_1^2}{4}-\frac{x_2^2}{4}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{4}=（{{k_1}+{k_2}}）-\frac{x_0}{2}$．
又因为对于抛物线来说，$y'=\frac{x}{2}$，
故点Q处切线的斜率为$-\frac{x_0}{2}$，
所以，由题${k_{MN}}=-\frac{x_0}{2}$得k₁+k₂=0．
代入（*）式得：x₀=0或±4．
所以点P的坐标为（0，0）或（±4，4）．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查直线和圆相切的条件：d=r，直线方程和抛物线的方程联立求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．