Question

7．己知函数f（x）=alnx+$\frac{b（x+1）}{x}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2．
（1）求a、b的值；
（2）当x＞0且x≠1时．求证：f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由已知切线方程，可得f（1）=2，f′（1）=0，解方程可得a，b的值；
（2）讨论x＞1，0＜x＜1时，原不等式的等价变形，设g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，求得导数，判断单调性，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=alnx+$\frac{b（x+1）}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2，
可得f（1）=2b=2，f′（1）=a-b=0，
解得a=b=1；
（2）证明：当x＞1时，f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$，
即为lnx+1+$\frac{1}{x}$＞lnx+$\frac{2lnx}{x-1}$，
即x-$\frac{1}{x}$-2lnx＞0，
当0＜x＜1时，f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$，
即为x-$\frac{1}{x}$-2lnx＜0，
设g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，g′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≥0，
可得g（x）在（0，+∞）递增，
当x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即有f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$；
当0＜x＜1时，g（x）＜g（1）=0，即有f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$．
综上可得，当x＞0且x≠1时，f（x）＞$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$都成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法，以及构造函数法，运用单调性证明，考查运算能力，属于中档题．