Question

6．已知f（x）=sin2x-2$\sqrt{3}$sin²x+2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]时，求f（x）的取值范围；
（Ⅱ）已知锐角三角形ABC满足f（A）=$\sqrt{3}$，且sinB=$\frac{3}{5}$，b=2，求三角形ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两角和的正弦公式、二倍角余弦公式变形化简解析式，由x的范围求出“$2x+\frac{π}{3}$”的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的取值范围；
（Ⅱ）由（I）和条件化简f（A），由锐角三角形的条件和特殊角的三角函数值求出A，由条件和正弦定理求出a，由诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC，代入三角形的面积公式求出三角形ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin2x-2$\sqrt{3}$sin²x+2$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$（1-cos2x）+2$\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$
=$2sin（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，
由$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}]$得，$2x+\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
则$sin（2x+\frac{π}{3}）∈[-\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，
所以$2sin（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}∈[0，2+\sqrt{3}]$，
即f（x）的取值范围是$[0，2+\sqrt{3}]$；
（Ⅱ）由（I）得，f（A）=$2sin（2A+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
则$sin（2A+\frac{π}{3}）=0$，
因为△ABC是锐角三角形，所以A=$\frac{π}{12}$，
因为sinB=$\frac{3}{5}$，b=2，所以由正弦定理得，
$a=\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{3}{5}}$=$\frac{5（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{6}$，
因为△ABC是锐角三角形，sinB=$\frac{3}{5}$，
所以cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
所以sinC=sin（A+B）=sin$\frac{π}{12}$cosB+cos$\frac{π}{12}$sinB
=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}×\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}×\frac{3}{5}$=$\frac{7\sqrt{6}-\sqrt{2}}{20}$，
所以三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$
=$\frac{1}{2}×\frac{5（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{6}×2×\frac{7\sqrt{6}-\sqrt{2}}{20}$=$\frac{11-4\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查正弦定理，正弦函数的性质，两角和的正弦公式、二倍角余弦公式变形等，及三角形面积公式的应用，考查化简、变形能力．