题目内容
16．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 7 | 6 | 5 | 4 | 2 |
（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）
参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．
分析 （1）利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（2）求出z关于x的函数，利用二次函数的性质得出当z最大时x的值．
解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（1+2+3+4+5）=3，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（7+6+5+4+2）=4.8．
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=60，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=55，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{60-5×3×4.8}{55-5×9}$=-1.2，$\stackrel{∧}{a}$=4.8+1.2×3=8.4．
∴y关于x的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=-1.2x+8.4．
（2）z=x（-1.2x+8.4）-2x=-1.2x2+6.4x=-1.2（x-$\frac{8}{3}$）2+$\frac{128}{15}$，
∴当x=$\frac{8}{3}$≈2.67时，利润z取得最大值．
点评 本题考查了线性回归方程的求解及数值估计，属于基础题．
练习册系列答案
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6．函数f（x）可导，则$\lim_{△x→0}\frac{f（1-△x）-f（1）}{2△x}$=（ ）
| A． | -2f'（1） | B． | $\frac{1}{2}f'（1）$ | C． | $-\frac{1}{2}f'（1）$ | D． | $f（{\frac{1}{2}}）$ |
7．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．
（I）求线性回归方程；（参考数据：$\sum_{i=1}^4{x_i}{y_i}=1120，\sum_{i=1}^4{x_i^2=440}$）
（II）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
| 气温（℃） | 14 | 12 | 8 | 6 |
| 用电量（度） | 22 | 26 | 34 | 38 |
（II）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．