Question

先将函数f（x）=sin2x的图象上所有的点都向右平移

π

12

个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的解析式和单调递减区间；
（2）若A为锐角三角形的内角，且g（A）=

1

3

，求f（

A

2

）的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的减区间求得g（x）的单调递减区间．
（2）由条件可得sin（A-

π

6

）和cos（A-

π

6

）的值，再根据f（

A

2

）=sinA=sin[（A-

π

6

）+

π

6

]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．

解答： 解：（1）将函数f（x）=sin2x的图象上所有的点都向右平移

π

12

个单位，可得函数y=sin2（x-

π

12

）=sin（2x-

π

6

）的图象，
再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（x-

π

6

）的图象．
令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得2kπ+

2π

3

≤x-

π

6

≤2kπ+

5π

3

，k∈z，
可得g（x）的减区间为[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，k∈z．
（2）由A为锐角三角形的内角，g（A）=sin（A-

π

6

）=

1

3

，可得cos（A-

π

6

）=

2 2

3

，
f（

A

2

）=sinA=sin[（A-

π

6

）+

π

6

]=sin（A-

π

6

） cos

π

6

+cos（A-

π

6

）sin

π

6

=

1

3

×

3

2

+

2 2

3

×

1

2

=

3 +2 2

6

．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的减区间，两角和的正弦公式，属于中档题．