Question

8．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个不共线的单位向量，向量$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow{b}$，λ∈R，且|$\overrightarrow{c}$|=$\frac{1}{2}$，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，根据条件便可得出A，B，C三点共线，并可得出当OC⊥AB时，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$最小，结合图形即可求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的最小值．

解答 解：作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，则：
$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$，且$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1，|\overrightarrow{OC}|=\frac{1}{2}$；
∴A，B，C三点共线，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$，如图所示，当OC⊥AB时，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$最小；
∠OAC=30°，AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$AB=\sqrt{3}$；
即$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的最小值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 考查数形结合解题的方法，三点A，B，C共线的充要条件：$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，x+y=1，向量减法的几何意义，以及三角函数的定义．