Question

14．多面体ABCDFE中，底面四边形ABCD为矩形，EF∥AD，AE=FD，FG=GD，AD=2AB=2EF=2，且四边形EADF的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
（1）判断直线BF与平面ACG的关系，并说明理由；
（2）若平面EADF⊥平面ABCD，求平面FBC与平面ACG形成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）直线BF∥平面ACG．下面给出证明：连接BD，交AC于点H，连接GH．底面四边形ABCD为矩形，可得BH=HD，利用三角形中位线定理可得BF∥HG，利用线面平行的判定定理即可证明BF∥平面ACG．
（2）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系A-xyz．由平面EADF⊥平面ABCD，可得z轴在平面AEFD内．由等腰梯形EADF的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，可得高=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．设平面FBC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$，同理可得平面ACG的一个法向量$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 解：（1）直线BF∥平面ACG．
下面给出证明：连接BD，交AC于点H，连接GH．
∵底面四边形ABCD为矩形，∴BH=HD，又FG=GD，
∴BF∥HG，又BF?平面ACG，HG?平面ACG，
∴BF∥平面ACG．
（2）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
\建立空间直角坐标系A-xyz．
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），
由平面EADF⊥平面ABCD，可得z轴在平面AEFD内．
∵等腰梯形EADF的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，则高=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{\frac{1+2}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），G（0，$\frac{7}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．
$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{CF}$=（-1，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），$\overrightarrow{AG}$=（0，$\frac{7}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．
设平面FBC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2{y}_{1}=0}\\{-{x}_{1}-\frac{1}{2}{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，0，2）$．
设平面ACG的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AG}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}+2{y}_{2}=0}\\{\frac{7}{4}{y}_{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（2\sqrt{3}，-\sqrt{3}，7）$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{20}{\sqrt{7}×8}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．
∴平面FBC与平面ACG形成的锐二面角的余弦值是$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题考查了空间位置关系与空间角、线面平行与垂直的判定性质定理、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．