Question

20．已知过函数f（x）=x³+ax²+1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为-3．
（1）求a、b的值；
（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A-1993对于x∈[-1，4]恒成立；
（3）令g（x）=-f（x）-3x²+tx+1．是否存在一个实数t，使得当x∈（0，1]时，g（x）有最大值1？

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=-3，求出a，把B代入函数表达式，求出b即可；
（2）求出f（x）的导数，得到函数的极值点，计算极值和端点值，得到关于A的不等式，解出即可；
（3）求出g（x）的导数，通过讨论t的范围，得到函数的单调区间，从而求出满足条件的t的值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax
依题意得k=f′（1）=3+2a=-3，
∴a=-3，∴f（x）=x³-3x²+1，
把B（1，b）代入得b=f（1）=-1，
∴a=-3，b=-1    …（3分）
（2）令f′（x）=3x²-6x=0，得x=0或x=2，
∵f（0）=1，f（2）=2³-3×2²+1=-3，
f（-1）=-3，f（4）=17，
∴x∈[-1，4]，-3≤f（x）≤17，
要使f（x）≤A-1993对于x∈[-1，4]恒成立，
则f（x）的最大值17≤A-1993，
∴A≥2010．   …（7分）
（3）已知g（x）=-（x³-3x²+1）-3x²+tx+1=-x³+tx，
∴g′（x）=-3x²+t，
∵0＜x≤1，∴-3≤-3x²＜0，
①当t＞3时，t-3x²＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（0.1]上为增函数，
g（x）的最大值g（1）=t-1=1，得t=2（不合题意，舍去）
②当0≤t≤3时，g′（x）=-3x²+t，
令g′（x）=0，得x=$\sqrt{\frac{t}{3}}$，
列表如下：

x	（0，$\sqrt{\frac{t}{3}}$）	$\sqrt{\frac{t}{3}}$	$（\sqrt{\frac{t}{3}}，1]$
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

g（x）在x=$\sqrt{\frac{t}{3}}$处取最大值-${（{\sqrt{\frac{t}{3}}}）^3}$+t$\sqrt{\frac{t}{3}}$=1，
∴t=$\root{3}{{\frac{27}{4}}}$=$\frac{{3\root{3}{2}}}{2}$＜$\sqrt{\frac{t}{3}}$，
∴x=$\sqrt{\frac{t}{3}}$＜1，
③当t＜0时，g′（x）=-3x²+t＜0，
∴g（x）在（0，1]上为减函数，
∴g（x）在（0，1]上为增函数，
∴存在一个t=$\frac{{3\root{3}{2}}}{2}$，使g（x）在（0.1]上有最大值1．…（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．