Question

11．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足2c-2acosB=b．
（I）求角A；
（II）若c=4，△ABC的面积为$6\sqrt{3}$，求a．

Answer 1

分析 （I）运用正弦定理和两角和的正弦公式，化简整理可得角B的值；
（II）由三角形的面积公式和条件解方程可得b，再由余弦定理，计算可得a的值．

解答 解：（I）由2c-2acosB=b，
有2sinC-2sinAcosB=sinB，
而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
代入化简得2cosAsinB=sinB，A，B∈（0，π），
所以$cosA=\frac{1}{2}$，$A=\frac{π}{3}$；
（II）由 ${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=6\sqrt{3}$，$A=\frac{π}{3}$，c=4得b=6，
而$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
代入b，c解得$a=2\sqrt{7}$．

点评 本题考查解三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查运算能力，属于中档题．