Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$log_a（ax）•log_a（a²x）（x∈[2，8]，a＞0，且a≠1）的最大值是1，最小值是-$\frac{1}{8}$，求a的值．

Answer 1

分析 令t=log_ax，则y=f（x）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+1，结合二次函数的图象和性质，可得0＜a＜1，且log_a8=-3，进而得到答案．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{2}$log_a（ax）•log_a（a²x）=$\frac{1}{2}$（1+log_ax）（2+log_ax）=$\frac{1}{2}$（log_ax）²+$\frac{3}{2}$log_ax+1，
令t=log_ax，则y=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+1，
当t=-$\frac{3}{2}$时，函数取最小值-$\frac{1}{8}$，当t=0或t=-3时，函数值为1，
当x∈[2，8]时，t=log_ax≠0，
故0＜a＜1，且log_a8=-3，
解得：a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，转化思想，难度中档．