Question

19．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（p，0），倾斜角为45°的直线与抛物线交于A、B两点，若|AF|+|BF|=10，则抛物线的准线方程为（　　）

• A． x+1=0
• B． 2x+1=0
• C． 2x+3=0
• D． 4x+3=0

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点坐标和准线方程，求得直线AB的方程，代入抛物线的方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用判别式大于0，韦达定理，再由抛物线的定义，将到焦点的距离转化为到准线的距离，解方程可得p=2，进而得到抛物线的准线方程．

解答 解：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
过点M（p，0），倾斜角为45°的直线设为y=x-p，
代入抛物线的方程，可得x²-4px+p²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有△=16p²-4p²=12p²＞0，
x₁+x₂=4p，
由抛物线的定义可得，|AF|+|BF|=（x₁+$\frac{p}{2}$）+（x₂+$\frac{p}{2}$）=10，
即为x₁+x₂+p=4p+p=10，解得p=2，
则抛物线的准线方程为x=-1，即x+1=0．
故选：A．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要是定义法的运用，同时考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．