Question

11．已知数列{a_n}是等差数列，{b_n}是各项均为正数的等比数列，满足a₁=b₁=1，b₂-a₃=2b₃，a₃-2b₂=-1
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（2）设c_n=a_n+b_n，n∈N^*，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是各项均为正数且公比为q的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；
（2）求出c_n=a_n+b_n=$\frac{1}{2}$（3-n）+（$\frac{1}{2}$）^n-1，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设数列{a_n}是公差为d的等差数列，
{b_n}是各项均为正数且公比为q的等比数列，
由a₁=b₁=1，b₂-a₃=2b₃，a₃-2b₂=-1，
可得q-（1+2d）=2q²，1+2d-2q=-1，
解得d=-$\frac{1}{2}$，q=$\frac{1}{2}$，
可得a_n=a₁+（n-1）d=1-$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（3-n）；
b_n=b₁q^n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-1，n∈N*；
（2）c_n=a_n+b_n=$\frac{1}{2}$（3-n）+（$\frac{1}{2}$）^n-1，
可得数列{c_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$n（1+$\frac{3-n}{2}$）+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$
=-$\frac{1}{4}$n²+$\frac{5}{4}$n-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+2．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．