题目内容

若函数f（x）=ax3+x，
（1）求实数a的取值范围，使f（x）在R上是增函数．
（2）求实数a的取值范围，使f（x）恰好有三个单调区间．
分析：求导函数，可得f′（x）=3ax2+1，
（1）f（x）在R上是增函数，则f′（x）=3ax2+1≥0在R上恒成立；
（2）f（x）恰好有三个单调区间，则f′（x）=3ax2+1=0有两个不相等的实数根
故可求得结论．
解答：解：求导函数，可得f′（x）=3ax2+1，
（1）f（x）在R上是增函数，∴f′（x）=3ax2+1≥0在R上恒成立，
当x=0时，a∈R；当x≠0时，3a≥-
1
x2
，∴a≥0；
综上知，a≥0；
（2）f（x）恰好有三个单调区间，则f′（x）=3ax2+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=0-12a＞0
∴a＜0
点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，解题的关键是将所求问题进行等价转化，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
①命题“对任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R，x3-x2+1＞0”；
②函数f（x）=2x-x2的零点有2个；
③若函数f（x）=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=0；
④函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=
∫
x
-x
sinxdx；
⑤若函数f（x）=
ax-5(x＞6)
(4-
a
2
)x+4(x≤6)
，在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围为（1，8）．
其中真命题的序号是
①③
①③
（写出所有正确命题的编号）．
对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．
若函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）的反函数记为y=g（x），g（16）=2，则f(
12
)=
2
2
．
若函数f（x）=ax-2+2010（a＞0且a≠1）恒过一定点，此定点坐标为
（2，2011）
（2，2011）
．
（2012•卢湾区一模）若函数f（x）=ax+b的零点为x=2，则函数g（x）=bx2-ax的零点是x=0和x=
-
1
2
-
1
2
．

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