Question

8．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^x}，x≤1\\-\frac{1}{x-1}，x＞1\end{array}$方程f（x）-k（x+1）=0有两个不等实根，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （1，$\frac{e}{2}}$）
• B． （1，$\frac{e}{2}}$]
• C． （-∞，0）∪（1，$\frac{e}{2}}$]
• D． （-∞，0）∪（1，$\frac{e}{2}}$）

Answer 1

分析 做出f（x）和直线y=k（x+1）的函数图象，根据图象判断直线的斜率k的范围．

解答 解：由f（x）-k（x+1）=0得f（x）=k（x+1）．
∵程f（x）-k（x+1）=0有两个不等实根，∴f（x）和y=k（x+1）的图象有两个交点．
做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知当k＜0时，直线y=k（x+1）与y=f（x）恒有2个交点，符合题意．
设直线y=k₁（x+1）经过点（1，e），则k₁=$\frac{e}{2}$，
设直线y=k₂（x+1）与y=e^x相切，设切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}={k}_{2}}\\{{y}_{0}={e}^{{x}_{0}}}\\{{y}_{0}={k}_{2}（{x}_{0}+1）}\end{array}\right.$，解得x₀=0，y₀=1，k₂=1，
∴当1＜k≤$\frac{e}{2}$时，直线y=k（x+1）与y=f（x）有2个交点．
综上，k的取值范围是（-∞，0）∪（1，$\frac{e}{2}$]．
故选C：．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．