Question

7．如图，在空间几何体A-BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形，F为AC的中点．AC=4
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求几何体C-BDF的体积．

Answer 1

分析 （1）取DE的中点H，连AH，CH，推导出AH⊥DE，AH⊥HC，由此能证明平面ADE⊥BCDE．
（2）几何体C-BDF的体积${V_{C-BDF}}={V_{F-BDC}}=\frac{1}{2}{V_{A-BDC}}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）取DE的中点H，连AH，CH，
∵△ADE为等边三角形，∴AH⊥DE，且$AH=\sqrt{3}$，
在△DHC中，DH=1，DC=4，HDC=60°，
∴$HC=\sqrt{13}$，∴AC²=AH²+HC²，即AH⊥HC，
∵DE∩HC=H，∴AH⊥平面BCDE，∵AH?平面ADE，
∴平面ADE⊥BCDE…（6分）
$（2）{V_{A-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•AH$=$\frac{1}{3}×\frac{{4\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{3}$=2，
∵F是AC中点，
∴几何体C-BDF的体积${V_{C-BDF}}={V_{F-BDC}}=\frac{1}{2}{V_{A-BDC}}=1$…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．