Question

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；
（Ⅲ）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先证明AC⊥BD，再利用向量的方法证明DB⊥AP，从而可得DB⊥平面PAC，利用面面垂直的判定可得面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求出平面PDB的法向量为，，从而可求点A到平面PBD的距离；
（Ⅲ）求出平面ABP的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-PB-D的余弦值．
解答：（Ⅰ）证明：设AC与BD交于O点
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD
以OA、OB所在直线分别x轴，y轴．以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立如图的空间直角坐标系，
则
∵…（2分）
∴
∴DB⊥AP
∵AC⊥BD，AC∩AP=A
∴DB⊥平面PAC，又DB?平面PDB
∴平面PBD⊥平面PAC…（4分）
（Ⅱ）解：设平面PDB的法向量为，
由，∴
令z₁=1得…（6分）
∵
∴点A到平面PBD的距离=…（8分）
（Ⅲ）解：设平面ABP的法向量，
∵，∴
∴…（10分）
∴…（11分）
∴二面角A-PB-D的余弦值为…（12分）
点评：本题考查面面垂直，考查点到平面的距离，考查面面角，考查利用向量知识解决立体几何问题，考查学生的计算能力，属于中档题．