Question

16．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*
（Ⅰ）证明：数列{a_n-n}是等比数列
（Ⅱ）记数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*成立．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1=4a_n-3n+1，变形a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），a₁-1=1．即可证明．
（II）由（I）可得：a_n-n=4^n-1，解得a_n=n+4^n-1，利用等差数列与等比数列的求和公式可得：S_n，S_n+1．作差4S_n-S_n+1即可得出．

解答 证明：（I）∵a_n+1=4a_n-3n+1，∴a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），a₁-1=1．
∴数列{a_n-n}是等比数列，首项为1，公比为4．
（II）由（I）可得：a_n-n=4^n-1，解得a_n=n+4^n-1，
S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
S_n+1=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$+$\frac{1}{3}（{4}^{n+1}-1）$．
∴4S_n-S_n+1=4×$\frac{n（n+1）}{2}$+4×$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$-$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$-$\frac{1}{3}（{4}^{n+1}-1）$=$\frac{（n+1）（3n-2）}{2}$-1=$\frac{3{n}^{2}+n-4}{2}$≥0．
∴S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．