Question

16．设数列{a_n}的前n项和为S_n．且a₁=1，a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n=1，2，3，…），则S_2n+1=$\frac{4}{3}$[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ⁺¹]．

Answer 1

分析 由题意可知：a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n=1，2，3，…），则a_2n+a_2n+1=$\frac{1}{{2}^{2n}}$，因此S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n-2+a_2n-1）+（a_2n+a_2n+1），可知S_2n+1表示的是以1为首项、$\frac{1}{4}$为公比的等比数列的前n+1项和，由等比数列前n项和公式即可求得S_2n+1．

解答 解：依题意，S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n-2+a_2n-1）+（a_2n+a_2n+1），
=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n}}$，
=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$，
=$\frac{1×（1-\frac{1}{{4}^{n+1}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ⁺¹]，
故答案为：$\frac{4}{3}$[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ⁺¹]．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，等比数列前n项和公式，考查运算求解能力，考查分组法求和，注意解题方法的积累，属于中档题．