题目内容
1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，1-$\sqrt{2}$sinx），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，1+$\sqrt{2}$sinx）．（1）若函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，$\frac{sinBcosA}{sinA}$=2-cosB，求f（B）的值．
分析 （1）利用倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理后，利用了三角函数图象和性质即可求得其值域；
（2）由已知及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，正弦定理可求2a=c，由已知利用余弦定理可求cosB的值，进而可求B，结合（1）利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，1-$\sqrt{2}$sinx），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，1+$\sqrt{2}$sinx）．
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]．
（2）∵$\frac{sinBcosA}{sinA}$=2-cosB，可得：sinBcosA=2sinA-cosBsinA，
∴2sinA=sinC，由正弦定理可得：2a=c，
又∵$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，可得：b=$\sqrt{3}a$，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-3{a}^{2}}{2×2a×a}$=$\frac{1}{2}$，可得：B=$\frac{π}{3}$，
∴f（$\frac{π}{3}$）=2sin（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=1．
点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量数量积的运算，三角函数图象和性质，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
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