Question

3．如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、$\frac{7\sqrt{10}}{5}$km．测得tan∠MON=-3，OA=6km．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以18$\sqrt{2}$km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）．
（1）问游轮自码头A沿$\overrightarrow{AB}$方向开往码头B共需多少分钟？
（2）海中有一处景点P（设点P在xOy平面内，PQ⊥OM，且PQ=6km），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知得：A（6，0），直线ON的方程为y=-3x，求出Q（4，2），得直线AQ的方程，从而求出水上旅游线AB的长，由此能求出游轮在水上旅游线自码头A沿$\overrightarrow{AB}$方向开往码头B共航行时间．
（2）点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C，分别求出直线AB的方程和直线PC的方程，联立直线AB和直线PC的方程组，能求出点C的坐标．

解答 解：（1）由已知得：A（6，0），直线ON的方程为y=-3x，…1分
设Q（x₁，2），（x₁＞0），由$\frac{|3{x}_{1}+2|}{\sqrt{10}}=\frac{7\sqrt{10}}{5}$及x₁＞0，得x₁=4，∴Q（4，2），…3分
∴直线AQ的方程为y=-（x-6），即x+y-6=0，…5分
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=9}\end{array}\right.$，即B（-3，9），…6分
∴AB=$\sqrt{（-3-6）^{2}+{9}^{2}}$=9$\sqrt{2}$，即水上旅游线AB的长为9$\sqrt{2}$km．
游轮在水上旅游线自码头A沿$\overrightarrow{AB}$方向开往码头B共航行30分钟时间． …8分
（2）点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C． …10分
由（1）知直线AB的方程为x+y-6=0，
P（4，8），则直线PC的方程为x-y+4=0，…12分
联立直线AB和直线PC的方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6=0}\\{x-y+4=0}\end{array}\right.$，
得点C的坐标为C（1，5）． …14分

点评 本题考查直线与圆的位置关系在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、直线方程的合理运用．