Question

设函数f（x）=x³-3ax+b（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）由题意得：

f′(2)=0 f(2)=8

，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3（x²-a）（a＞0），
令f'（x）＞0，得x＜-

a

或x＞

a

∴函数f（x）单调递增区间为：(-∞，-

a

)，(

a

，+∞)
令f'（x）＜0，得-

a

＜x＜

a

，
∴函数f（x）单调递减区间为：(-

a

，

a

)；
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，
∴

f′(2)=0 f(2)=8

⇒

3(4-a)=0 8-6a+b=8

⇒

a=4 b=24

．

点评：本题考查了函数的单调性，考查曲线的切线方程，本题属于中档题．