已知集合M={}.若对于任意(x1.y1)∈M.存在(x2.y2)∈M.使得x1x2+y1y2=0成立.则称集合M是“理想集合．给出下列5个集合:①M={(x.y)|y=$\frac{1}{x}$},②M={(x.y)|y=x2-2x+2},③M={(x.y)|y=ex-2},④M={(x.y)|y=lgx},⑤M={}．其中所有“理想集合的序号是( )A．①②B．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

11．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“理想集合”．给出下列5个集合：
①M={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}；②M={（x，y）|y=x²-2x+2}；③M={（x，y）|y=e^x-2}；
④M={（x，y）|y=lgx}；⑤M={（x，y）|y=sin（2x+3）}．
其中所有“理想集合”的序号是（　　）

A．

①②

B．

③⑤

C．

②③⑤

D．

③④⑤

分析根据条件只需要判断满足x₁x₂+y₁y₂=0是否恒成立即可．

解答解：对于①，注意到x₁•x₂+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$∈（-∞，-2]∪[2，+∞），故x₁•x₂+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0无实数解，因此①不是；
对于②，y=x²-2x+2=（x-1）²+1．当点（x₁，y₁）为（0，2）时，若x₁x₂+y₁y₂=0，则y₂=0，不成立，∴故②不是；
对于③，根据函数的图象，对于图象上任一点P，在曲线上存在点与原点的连线，与OP垂直，故③是；
对于④，注意到对于点（1，0），不存在（x₂，y₂）∈M，使得1×x₂+0×lgx₂=0，因为x₂=0与真数的限制条件x₂＞0矛盾，因此④不是
对于⑤，根据正弦函数的图象，对于图上任一点P，在曲线上存在点与原点的连线与OP垂直，故⑤是．
故选：B．

点评本题考查理想集合的定义，画出函数的图象，注意到对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查．

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