Question

4．已知集合U=R，A={x|y=$\sqrt{lo{g}_{2}（x-1）}$}，B={y|y=（$\frac{1}{2}$）^x+1，-2≤x≤-1}，C={x|x＜a-1}．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆∁_UA，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可；
（2）求出A的补集，由C为A补集的子集，确定出a的范围即可．

解答 解：（1）由A中y=$\sqrt{lo{g}_{2}（x-1）}$，得到log₂（x-1）≥0=log₂1，即x-1≥1，
解得：x≥2，即A=[2，+∞），
由B中y=（$\frac{1}{2}$）^x+1，-2≤x≤-1，得到3≤y≤5，即B=[3，5]，
则A∩B=[3，5]；
（2）∵A=[2，+∞），∴∁_UA=（-∞，2），
∵C=（-∞，a-1），且C⊆∁_UA，
∴a-1≤2，即a≤3，
则实数a的取值范围是（-∞，3]．

点评 此题考查了交集及其运算，集合的包含关系判断及应用，以及补集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．