Question

20．双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，直线x=a与双曲线M渐近线交于点P，若sin∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}$，则该双曲线的离心率为$\frac{9}{7}$．

Answer 1

分析 根据渐近线方程求出P点坐标，根据sin∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}$列方程得出a，b，c之间的关系即可求出离心率．

解答 解：设双曲线右顶点为A，M在第一象限内，
双曲线M的渐近线方程为y=$\frac{b}{a}x$，
∴P（a，b），又F₁（-c，0），A（a，0），
∴PA=b，F₁A=a+c，
∵sin∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}$，∴tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴$\frac{b}{a+c}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴b=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（a+c），
又b²=c²-a²，∴$\frac{1}{8}$（a+c）²=c²-a²，
即9a²-7c²+2ac=0，
∵e=$\frac{c}{a}$，∴9-7e²+2e=0，解得e=-1（舍）或e=$\frac{9}{7}$．
故答案为$\frac{9}{7}$．

点评 本题考查了双曲线的性质，离心率计算，属于中档题．