Question

19．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=l，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足$\overrightarrow{{A_1}P}$=λ$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$．
（I）当λ≠1时，求证：直线BC₁∥面PMN；
（ II）当λ=1时，求三棱锥A₁-PMN的体积．

Answer 1

分析 （I）连结BC₁，则MN∥BC₁，由此能证明BC₁∥平面PMN．
（ II）λ=1时，点P与B₁重合，${S}_{△PMN}={S}_{矩形BC{C}_{1}{B}_{1}}$-（S_△CMN+${S}_{△{D}_{1}DN}$+${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}M}$），连结AN，A₁到平面PMN的距离d=AN，由此能求出三棱锥A₁-PMN的体积．

解答 证明：（I）连结BC₁，
∵M、N是CC₁和BC的中点，
∴MN∥BC₁，
又∵λ≠1，∴BC₁?平面PMN，
∴BC₁∥平面PMN．
解：（ II）λ=1时，点P与B₁重合，
∵AB⊥AC，∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△PMN}={S}_{矩形BC{C}_{1}{B}_{1}}$-（S_△CMN+${S}_{△{D}_{1}DN}$+${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}M}$）
=$\sqrt{2}×1-（\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×1+\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}）$
=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
连结AN，∵AB=AC，N是BC的中点，
∴AN⊥BC，
又由条件CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AN，
又CC₁∩BC=C，CC₁和BC?面BB₁C₁C，
∴AN⊥面BB₁C₁C，
又AA₁∥面BB₁C₁C，
∴A₁到平面PMN的距离d=AN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱锥A₁-PMN的体积${V}_{{A}_{1}-PMN}$=$\frac{1}{3}•{S}_{△PMN}•AN=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{8}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{8}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．