Question

10．不等式ax²-2x+1＞0对x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，则a的取值范围为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最大值，问题得以解决．

解答 解：∵ax²-2x+1＞0对x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
∴a＞$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设f（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{2}{{x}^{3}}$（-x+1），
令f′（x）＞0，解得$\frac{1}{2}$＜x＜1，函数单调递增，
f′（x）＜0，解得x＞1，函数单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=$\frac{2}{1}$-1=1，
∴a＞1，
故选：B．

点评 本题考查恒成立问题，考查导数知识的综合运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．