Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，a₁、a₃、a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{

Sn•2n

n

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意得（1+2d）²=1+12d，求出公差d的值，即可得到数列{a_n}的通项公式．
（2）根据数列{a_n}的前n项和为S_n=n²，可得

Sn•2n

n

=n•n²，可得：T_n =1×2+2×2²+…n×2ⁿ，用错位相减法求出T_n 的值．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=1，a₁、a₃、a₁₃ 成等比数列，
得a32= a1a13，即 （1+2d）²=1+12d．…（3分）
得d=2或d=0（舍去）．    故d=2．所以a_n =2n-1．   …（7分）
（2）数列{a_n}的前n项和为S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²．…（9分）
再由

Sn•2n

n

=n•n² 得：T_n =1×2+2×2²+…n×2ⁿ，
可得到2T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，…（11分）
相减可得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

-1

-n×2n+1，
T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．…（14分）

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的通项公式，用公式法和错位相减法进行求和，属于中档题．