Question

已知F₁，F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F₁PF₂=

π

3

，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）

• A、

  4 3

  3

• B、

  2 3

  3

• C、3
• D、2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,余弦定理,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．

解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a₁，（a＞a₁），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，|F₁F₂|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e₁，e₂
∵∠F₁PF₂=

π

3

，
∴由余弦定理可得4c²=（r₁）²+（r₂）²-2r₁r₂cos

π

3

，①
在椭圆中，①化简为即4c²=4a²-3r₁r₂，
即

3r1r2

4c2

=

1

e 2 1

-1，②
在双曲线中，①化简为即4c²=4a₁²+r₁r₂，
即

r1r2

4c2

=-

1

e 2 2

+1，③
联立②③得，

1

e 2 1

+

3

e 2 2

=4，
由柯西不等式得（1+

1

3

）（

1

e 2 1

+

3

e 2 2

）≥（1×

1

e1

+

1

3

×

3

e2

）²，
即（

1

e1

+

1

e2

） 2≤

4

3

×4=

16

3

即

1

e1

+

1

e2

≤

16 3

=

4 3

3

，d当且仅当e1=

3

3

，e2=

3

时取等号，
法2：设椭圆的长半轴为a₁，双曲线的实半轴为a₂，（a₁＞a₂），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，|F₁F₂|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e₁，e₂
∵∠F₁PF₂=

π

3

，
∴由余弦定理可得4c²=（r₁）²+（r₂）²-2r₁r₂cos

π

3

=（r₁）²+（r₂）²-r₁r₂，
由

r1+r2=2a1 r1-r2=2a2

，得

r1=a1+a2 r2=a1-a2

，
∴

1

e1

+

1

e2

=

a1+a2

c

=

r1

c

，
令m=

r12

c2

=

4r12

r12+r22-r1r2

=

4

1+( r2 r1 )2- r2 r1

=

4

( r2 r1 - 1 2 )2+ 3 4

，
当

r2

r1

=

1

2

时，m max=

16

3

，
∴(

r1

c

)max=

4 3

3

，
即∴

1

e1

+

1

e2

的最大值为

4 3

3

，
故选：A

点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．