Question

4．将边长为1正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
（1）AC⊥BD；
（2）△ACD是等腰直角三角形；
（3）四面体A-BCD的表面积为1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（4）直线AC与平面BCD所成角为60°．
则正确结论的序号为（1）（3）．

Answer 1

分析 作出此直二面角的图形，由图形中所给的位置关系，对题目中的命题进行判断，即可得出正确的结论

解答 解：根据题意，画出图形，如图所示：
二面角A-BD-C为90°，E是BD的中点，可以得出∠AEC=90°，为直二面角的平面角；
对于（1），由于BD⊥面AEC，得出AC⊥BD，故命题（1）正确；
对于（2），在等腰直角三角形AEC中，可以求出AC=$\sqrt{2}$AE=AD=CD，
所以△ACD是等边三角形，故命题（2）错误；
对于（3），四面体ABCD的表面积为
S=2S_△ACD+2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}$×1²×sin60°+2×$\frac{1}{2}$×1×1=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故命题（3）正确；
对于（4），AC与平面BCD所成的线面角是∠ACE=45°，故（4）错误．
故答案为：（1）（3）．

点评 本题考查了与二面角有关的线线之间、线面之间角的求法问题，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．