Question

若关于x的不等式a²x²≥（3x-2）²的解集中的整数恰有2个，则正实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：由题意可知a是大于0的，a²x²≥（3x-2）²可变为（ax）²-（3x-2）²≥0，利用平方差分解因式得（a+3x-2）（a-3x+2）≥0，（a+3x-2）与（a-3x+2）同号得到a的解集，解集中的整数恰有2个，得到a的范围即可．

解答：解：由题知，a＞0 则
a²x²≥（3x-2）²
（ax）²-（3x-2）²≥0
（a+3x-2）（a-3x+2）≥0
a+3x-2≥0且a-3x+2≥0或a+3x-2≤0且a-3x+2≤0

2-a

3

≤x≤

2+a

3

因为解集中恰有2个整数解
所以当a∈（0，2），

2-a

3

∈(0，1)则

2+a

3

∈[2，3)，无解；
当a∈[2，+∞），

2-a

3

∈(-1，0)则

2+a

3

∈[1，2)，解得2≤a＜4
故答案为：2≤a＜4

点评：考查学生解一元二次不等式的能力，运用一元二次不等式解决数学问题的能力．