Question

13．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥CC₁，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．
（1）证明：BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）若AA₁=$\sqrt{2}$，求V${\;}_{C-{A}_{1}{B}_{1}B}$．

Answer 1

分析 （1）由已知可得A₁D⊥平面ABC，进一步得到BC⊥A₁D，再由BC⊥CC₁，可得BC⊥AA₁，然后利用线面垂直的判定得答案；
（2）直接利用等积法化V${\;}_{C-{A}_{1}{B}_{1}B}$为${V}_{{A}_{1}-ABC}$求解．

解答 （1）证明：由已知得，A₁D⊥平面ABC，
又BC?平面ABC，BC⊥A₁D，∴BC⊥A₁D，
∵BC⊥CC₁，AA₁∥CC₁，∴BC⊥AA₁，
又A₁D∩AA₁=A₁，A₁D?平面ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）解：由（1）及AC?平面ACC₁A₁，得BC⊥AC，
在△A₁AD中，${A}_{1}D=\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}-A{D}^{2}}=1$，
∴${V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}B}={V}_{C-{A}_{1}AB}={V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判断，训练了利用等积法求多面体的体积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．